Chỉ cho phép hiện 1 lớp đang chọn (các lớp còn lại được ẩn). Shift+Space: Thay đổi các chế độ đường dây (Tự do - Theo luật - Vuông 90 độ - Cong) Ctrl+Shift+L (hoặc A L) Căn chỉnh các linh kiện thẳng hàng dọc. Ctrl+Shift+T (hoặc A T) Căn chỉnh các linh kiện thẳng hàng ngang. A, Hình giọt nước ngược của rãnh trên phim toàn cảnh (mũi tên). B, Rãnh trên sọ khô (mũi tên). C, Phần hình ảnh xấp xỉ lớp ảnh của phim toàn cảnh đi qua rãnh chân bướm hàm trên lát cắt trục của phim CT (thanh trắng). Xoang hàm trên thường nhìn thấy rõ trên phim toàn cảnh. Toolbar. AutoCAD 2002 có tất cả 24 thanh Toolbar. mỗi hộp chọn (Toolbox) lại liên quan đến một lệnh hoặc chức năng cụ thể nào đó của môi trường CAD.Để gọi Toolbar nào đó có th thực hiện như sau :. Chọn Menu View - Toolbars. sẽ xuất hiện hộp thoại hình 1. Từ hộp thoại này nếu muốn Toolbar nào đó được hiện Bài giảng trên giới thiệu với chúng ta toàn bộ lý thuyết về phép đối xứng trục và cách tìm tọa độ điểm bởi phép đối xứng trục. Đây là dạng toán hết sức cơ bản và các bạn cần chú ý tới dạng tìm tọa độ điểm hình ảnh qua phép đối xứng trục là đường thẳng d bất kì (khác trục Ox cùng Oy). Bài viết liên quan Điểm đối xứng qua đường thẳng Kẻ đường thẳng A đi qua 2 điểm P và Q. Đường thẳng A cắt đường cong Elliptic tại điểm -R = -(P + Q) Lấy đối xứng giao điểm qua trục Ox ta được điểm R = (P + Q) Trong trường hợp 2 điểm P và Q trùng nhau, đường thẳng A là tiếp tuyến với đường cong tại điểm P. Thực Fast Money. Bài toán tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng trục Cho đường tròn C có phương trình $x-a^2+y-b^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2+c=0$. Tìm ảnh của đường tròn C qua phép đối xứng trục a. Trục đối xứng là Ox b. Trục đối xứng là Oy c. Trục đối xứng là đường thẳng $\Delta$ cho trước. Các bạn đã biết để viết được phương trình đường tròn thì chúng ta cần xác định được tọa độ tâm và bán kính của đường tròn. Do đó để tìm được ảnh của đường tròn C chúng ta cần phải tìm ảnh của tâm đường tròn C và xác định bán kính R’ của đường tròn C’. Mà theo tính chất thì phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính. Do đó bán kính của đường tròn C’ cũng chính là bán kính của đường tròn C. Như vậy bài toán tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng trục được quy về bài toán tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục. Xem thêm bài giảng Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục Phân biệt sự khác nhau giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân Phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp Bài tập áp dụng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ và đường thẳng $d 3x+2y-6=0$. Tìm ảnh của đường tròn C qua phép đối xứng trục với a. Trục đối xứng là Ox b. Trục đối xứng là Oy c. Trục đối xứng là đường thẳng d. Hướng dẫn Đường tròn C có tâm là $I1;-2$ và bán kính $R=3$ Bạn nào không nhớ cách xác định tâm và bán kính thì xem thêm bài giảng này nhé Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn a. Trục đối xứng là Ox Gọi $I'x’;y’$ là ảnh của điểm $I$. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox là $\left\{\begin{array}{ll}x’=x\\y’=-y\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=1\\y’=2\end{array}\right.\Rightarrow I'1;2$ Đường tròn ảnh của C là C’ có tâm $I'1;2$ và bán kính $R’=R=3$ có phương trình là $x-1^2+y-2^2=9$ b. Trục đối xứng là Oy Gọi $I'x’;y’$ là ảnh của điểm $I$. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy là $\left\{\begin{array}{ll}x’=-x\\y’=y\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-1\\y’=-2\end{array}\right.\Rightarrow I'-1;-2$ Đường tròn ảnh của C là C’ có tâm $I'-1;-2$ và bán kính $R’=R=3$ có phương trình là $x+1^2+y+2^2=9$ c. Trục đối xứng là đường thẳng d Ở ý c này chúng ta cũng chỉ cần xác định ảnh của điểm I qua phép đối xứng trục $d3x+2y-6=0$ Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $I1;-2$ và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $-2x-1+3y+2=0$ $\Leftrightarrow -2x+3y+8=0$ Gọi $I_0$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng d. Tọa độ của điểm $I_0$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}3x+2y-6=0\\-2x+3y+8=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=\frac{34}{13}\\y=\frac{-12}{13}\end{array}\right.\Rightarrow I_0\frac{34}{13};\frac{-12}{13}$ Gọi $I’$ là ảnh của điểm $I$ qua phép đối xứng trục d, khi đó $I_0$ là trung điểm của $II’$. Tọa độ của điểm $I’$ là $\left\{\begin{array}{ll}x’=2.\frac{34}{13}-1\\y’=2.-\frac{12}{13}+2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=\frac{55}{13}\\y’=\frac{2}{13}\end{array}\right.\Rightarrow I'\frac{55}{13};\frac{2}{13}$ Đường tròn ảnh của C là C’ có tâm $I’$ và bán kính $R’=3$ có phương trình là $x-\frac{55}{13}^2+y-\frac{2}{13}^2=9$ SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn! Phép đối xứng trục là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán lớp 11. Trong đó, công thức của phép quay khá phức tạp. Vì vậy, để làm được dạng bài tập này các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập liên quan trong bài viết dưới đây nhé! 1. Định nghĩa phép đối xứng trục Định nghĩa Phép biến hình biến mỗi điểm M $\in $ đường thẳng d thành chính nó, mỗi điểm $M \notin d$ thành M’ để d trở thành đường trung trực của MM’. Khi đó gọi là phép đối xứng trục d. d gọi là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d kí hiệu là $Đ_{d}$. Hình H có H’ là ảnh qua phép đối xứng trục d nên ta gọi H, H’ đối xứng nhau qua d. Nhận xét Cho đường thẳng d, mỗi điểm M gọi $M_{0}$ là hình chiếu M $\perp$ trên d. Khi đó $M'' = Đ_{d}M \Leftrightarrow \overrightarrow{M_{0}M'}=\overrightarrow{M_{0}M}$. Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A1; -2 và B3; 1. Tìm ảnh đường thẳng AB và A, B qua phép đối xứng trục Ox. Giải Ta có ảnh của A, B lần lượt là A’, B’ qua phép đối xứng trục Ox có A’1; 2 và B’3; -1. A’B’ là ảnh của AB qua phép trục đối xứng Ox. PT đường thẳng A’B’ $\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{-1 - 2} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{2}=\frac{y - 2}{-3}\Leftrightarrow 3x + 2y - 7=0$ Đường thẳng AB qua phép đối xứng là $3x + 2y - 7=0$ 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục 3. Tính chất Trong phép đối xứng trục khoảng cách giữa 2 điểm bất kì luôn được bảo toàn. Phép đối xứng trục biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn cùng bán kính và biến tam giác thành tam giác bằng nó. 4. Trục đối xứng của một hình Đường thẳng d là trục đối xứng của hình H khi phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Vậy nên H là hình có trục đối xứng. Ví dụ Điểm M1; 3 tìm tọa độ M’ là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục Oy và tọa độ M’’ là ảnh của M’ qua trục Ox. Giải 5. Một số dạng bài tập về phép đối xứng trục lớp 11 có lời giải Dạng 1 Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục Để xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục ta có thể sử dụng các cách sau đây Dựa vào định nghĩa phép đối xứng. Sử dụng biểu thức tọa độ mà trục đối xứng cũng chính là trục tọa độ Ox, Oy. Sử dụng biểu thức vectơ của phép đối xứng. Ví dụ Mặt phẳng Oxyz cho điểm A1; -2 và B3; 1. Tìm ảnh của B, A và đường thẳng AB qua Ox. Giải Qua phép đối xứng trục Ox có A’ là ảnh của A với tọa độ A’1; 2. Qua phép đối xứng trục Ox có B’ là ảnh của B với tọa độ B’3; -1. Ảnh của AB qua phép đối xứng trục Ox chính là A’B’ nên A’B’ có phương trình $\frac{x - 1}{3 - 1}=\frac{y - 2}{-1 - 2} \Rightarrow 3x + 2y - 7=0$ Dạng 2 Tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục Để tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng và đường tròn qua phép đối xứng trục ta thực hiện những bước sau Tìm I’ là ảnh của I tâm của đường tròn C qua phép đối xứng. Viết phương trình đường tròn C’ tâm I’ và bán kính R’ = R. Dùng biểu thức tọa độ trong trường hợp trục đối xứng là Oy hoặc Ox. Ví dụ Mặt phẳng Oxyz đường tròn C $x - 2^{2}+y + 5^{2}=16$. Viết phương trình đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đối xứng trục Oy. Giải Đường tròn C tâm I2;-5 và R = 4. Ảnh của I2;-5 qua Oy là I’-2;-5. Nên ảnh của C qua trục Oy là C’ $x - 2^{2}+y + 5^{2}=16$. Dạng 3 Chỉ ra các hình có trục đối xứng Hình có đường thẳng d chia thành 2 phần mà nếu gấp hình theo d thì 2 phần đó sẽ chồng khít với nhau. Và những hình như vậy có thể gọi là hình có trục đối xứng qua d. Ví dụ Trong 3 hình dưới đây hình nào có trục đối xứng? Giải a, b là 2 hình không có trục đối xứng. c là hình có trục đối xứng được biểu diễn như sau Trên đây là toàn bộ lý thuyết, công thức và bài tập phép đối xứng trục lớp 11 thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết trên, các em có thể tự tin khi làm bài tập về phép đối xứng trục. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 11, truy cập trang web ngay nhé! Bài 1 Trong mặt phẳng , cho đường thẳng 2 − + 1 = 0 và điểm 3, −5. Tìm ảnh ′ của qua phép đối xứng a. Trục ; b. Trục ; c. Trục . Bài viết trình bày lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán phép đối xứng trục trong chương trình Hình học 11 chương 1. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng được chia sẻ trên KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa phép đối xứng trục • Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M’$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM’$ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $d$, hay còn gọi là phép đối xứng trục $d$, ký hiệu ${Đ_d}.$• ${Đ_d}\left M \right = M’$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = – \overrightarrow {IM’} .$ • Nếu ${Đ_d}\left[ {\left H \right} \right] = \left H \right$ thì $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $\left H \right$. 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Trong mặt phẳng $Oxy$ với mỗi điểm $M\left {x;y} \right$, gọi $M’\left {x’;y’} \right = {Đ_d}\left M \right.$ • Nếu $d$ là trục $Ox$ thì $\left\{ \begin{array}{l} x’ = x\\ y’ = – y \end{array} \right.$ • Nếu $d$ là trục $Oy$ thì $\left\{ \begin{array}{l} x’ = – x\\ y’ = y \end{array} \right.$ 3. Tính chất phép đối xứng trục • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. • Biến một đường thẳng thành đường thẳng. • Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán CÁC DẠNG TOÁN PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Dạng toán 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục Phương pháp Để xác định ảnh $\left H’ \right$ của hình $\left H \right$ qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau • Dùng định nghĩa phép đối xứng trục. • Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ $Ox$, $Oy.$ • Dùng biểu thức vectơ của phép đối xứng dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M\left {1;5} \right$, đường thẳng $dx + 2y + 4 = 0$ và đường tròn $\left C \right{x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0.$ a. Tìm ảnh của $M$, $d$ và $\left C \right$ qua phép đối xứng trục $Ox.$ b. Tìm ảnh của $M$ qua phép đối xứng qua đường thẳng $d.$a. Gọi $M’$, $d’$, $\left {C’} \right$ theo thứ tự là ảnh của $M$, $d$, $\left C \right$ qua phép đối xứng trục ${Đ_{Ox}}.$ • Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục $Ox$, suy ra $M’\left {1; – 5} \right.$ • Tìm ảnh của đường thẳng $d$ Lấy $N\left {x;y} \right \in d$ $ \Rightarrow x + 2y + 4 = 0$ $1.$ Gọi $N’\left {x’;y’} \right$ là ảnh của $N$ qua phép đối xứng ${Đ_{Ox}}.$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l} x’ = x\\ y’ = – y \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = x’\\ y = – y’ \end{array} \right.$ Thay vào $\left 1 \right$ ta được $x’ – 2y’ + 4 = 0.$ Vậy $d’x – 2y + 4 = 0.$ • Tìm ảnh của đường tròn $\left C \right$ Cách 1 Đường tròn $\left C \right$ có tâm $I\left { – 1;2} \right$ và bán kính $R = 3.$ Gọi $I’,R’$ là tâm và bán kính của $\left {C’} \right$ thì $I’\left { – 1; – 2} \right$ và $R’ = R = 3$. Do đó $\left {C’} \right {\left {x + 1} \right^2} + {\left {y + 2} \right^2} = 9.$ Cách 2 Lấy $P\left {x;y} \right \in \left C \right$ $ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0$ $\left 2 \right.$ Gọi $P’\left {x’;y’} \right$ là ảnh của $P$ qua phép đối xứng ${Đ_{Ox}}.$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l} x’ = x\\ y’ = – y \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = x’\\ y = – y’ \end{array} \right.$ Thay vào $\left 2 \right$, ta được $x{^2} + y{^2} + 2x’ + 4y’ – 4 = 0.$ Vậy $\left {C’} \right{x^2} + {y^2} + 2x + 4y – 4 = 0.$b. Đường thẳng ${d_1}$ đi qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình $2x – y + 3 = 0.$ Gọi $I = d \cap {d_1}$ thì tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 4 = 0\\ 2x – y + 3 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – 2\\ y = – 1 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow I\left { – 2; – 1} \right.$ Gọi $M’$ đối xứng với $M$ qua $d$ thì $I$ là trung điểm của $MM’$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_M} + {x_{M’}}}}{2}\\ {y_I} = \frac{{{y_M} + {y_{M’}}}}{2} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M’}} = 2{x_I} – {x_M} = – 5\\ {y_{M’}} = 2{y_I} – {y_M} = – 7 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow M’\left { – 5; – 7} \right.$ Vậy ảnh của $M$ qua phép đối xứng đường thẳng $d$ là điểm $M’\left { – 5; – 7} \right.$Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng $dx + y – 2 = 0$, ${d_1}x + 2y – 3 = 0$ và đường tròn $\left C \right{\left {x – 1} \right^2} + {\left {y + 1} \right^2} = 4.$ Tìm ảnh của ${d_1}$, $\left C \right$ qua phép đối xứng trục $d.$• Tìm ảnh của ${d_1}$ Ta có ${d_1} \cap d = I\left {1;1} \right$ nên ${Đ_d}\left I \right = I.$ Lấy $M\left {3;0} \right \in {d_1}$. Đường thẳng ${d_2}$ đi qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình $x – y – 3 = 0.$ Gọi ${M_0} = d \cap {d_2}$, thì tọa độ của ${M_0}$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} x + y – 2 = 0\\ x – y – 3 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2}\\ y = – \frac{1}{2} \end{array} \right.$ $ \Rightarrow {M_0}\left {\frac{5}{2}; – \frac{1}{2}} \right.$ Gọi $M’$ là ảnh của $M$ qua ${Đ_d}$ thì ${M_0}$ là trung điểm của $MM’$ nên $M’\left {2; – 1} \right.$ Gọi ${d_1}’ = {Đ_d}\left {{d_1}} \right$ thì ${d_1}’$ đi qua $I$ và $M’$ nên có phương trình $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow 2x + y – 3 = 0.$ Vậy ${d_1}’2x + y – 3 = 0.$ • Tìm ảnh của $\left C \right$ Đường tròn $\left C \right$ có tâm $J\left {1; – 1} \right$ và bán kính $R = 2.$ Đường thẳng ${d_3}$ đi qua $J$ và vuông góc với $d$ có phương trình $x – y – 2 = 0.$ Gọi ${J_0} = {d_3} \cap d$ thì tọa độ của điểm ${J_0}$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} x + y – 2 = 0\\ x – y – 2 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 0 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow {J_0}\left {2;0} \right.$ Gọi $J’ = {Đ_d}\left J \right$ thì ${J_0}$ là trung điểm của $JJ’$ nên $J’\left {3;1} \right.$ Gọi $\left {C’} \right = {Đ_d}\left {\left C \right} \right$ thì $J’$ là tâm của $\left {C’} \right$ và bán kính của $\left {C’} \right$ là $R’ = R = 2.$ Vậy $\left {C’} \right{\left {x – 3} \right^2} + {\left {y – 1} \right^2} = 4.$ [ads] Dạng toán 2. Dùng phép đối xứng trục để giải các bài toán dựng hình Phương pháp Để dựng một điểm $M$ ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục, hoặc xem $M$ như là giao điểm của một đường cố định và một với ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng dụ 3. Dựng hình vuông $ABCD$ biết hai đỉnh $A$ và $C$ nằm trên đường thẳng ${{d}_{1}}$ và hai đỉnh $B, D$ lần lượt thuộc hai đường thẳng ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$.Phân tích Giả sử đã dựng được hình vuông $ABCD$ thỏa điều kiện của bài toán. Do $A,C \in {d_1}$ và $AC$ là trục đối xứng của hình vuông $ABCD$, mặc khác $B \in {d_2}$ nên $D \in {d_2}’$, trong đó ${d_2}’$ là đường thẳng đối xứng với ${d_2}$ qua ${d_1}.$ Suy ra $D = {d_2}’ \cap {d_3}.$ Hai điểm $B,D$ đối xứng qua đường thẳng ${d_1}$ nên ${Đ_{{d_1}}}\left D \right = B.$ Cách dựng + Dựng ${d_2}’ = {Đ_{{d_1}}}\left {{d_2}} \right$, gọi $D = {d_3} \cap {d_2}’.$ + Dựng đường thẳng qua $D$ vuông góc với ${d_1}$ tại $O$ và cắt ${d_2}$ tại $B.$ + Dựng đường tròn tâm $O$ đường kính $BD$ cắt ${d_1}$ tại $A,C$ $A,C$ theo thứ tự để tạo thành tứ giác $ABCD$. Chứng minh Từ cách dựng suy ra $ABCD$ là hình vuông. Nhận xét Trường hợp 1 ${d_2}$ cắt ${d_3}$, khi đó + Nếu ${d_2}’ \cap {d_3}$ thì bài toán có một nghiệm hình. + Nếu ${d_2}’\parallel {d_3}$ thì bài toán vô nghiệm hình. Trường hợp 2 ${d_2}\parallel {d_3}$, khi đó + Nếu ${{d}_{1}}$ song song và cách đều ${{d}_{2}}$ và ${{d}_{3}}$ thì bài toán có vô số nghiệm hình.+ Nếu ${{d}_{1}}$ hợp với ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ một góc $45{}^\circ $ thì bài toán có một nghiệm hình.+ Nếu ${{d}_{1}}$ song song và không cách đều ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ hoặc ${{d}_{1}}$ không hợp ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ một góc $45{}^\circ $ thì ví dụ đã cho vô nghiệm dụ 4. Cho hai đường tròn $\left C \right,\left C’ \right$ có bán kính khác nhau và đường thẳng $d$. Hãy dựng hình vuông $ABCD$ có hai đỉnh $A,C$ lần lượt nằm trên $\left C \right,\left C’ \right$ và hai đỉnh còn lại nằm trên $d$.Phân tích Giả sử đã dựng được hình vuông $ABCD$. Ta thấy hai đỉnh $B,D \in d$ nên hình vuông hoàn toàn xác định khi biết $C$. Ta có $A,C$ đối xứng qua $d$ nên $C$ thuộc đường tròn $\left {{C_1}} \right$ là ảnh của đường tròn $\left C \right$ qua ${Đ_d}.$ Mặt khác $C \in \left {C’} \right$ $ \Rightarrow C \in \left {{C_1}} \right \cap \left {C’} \right.$ Cách dựng + Dựng đường tròn $\left {{C_1}} \right$ là ảnh của $\left C \right$ qua ${Đ_d}.$ + Gọi $C$ là giao điểm của $\left {{C_1}} \right$ và $\left {C’} \right.$ + Dựng điểm $A$ đối xứng với $C$ qua $d.$ + Gọi $I = AC \cap d.$ Lấy trên $d$ hai điểm $BD$ sao cho $IB = ID = IA.$ Khi đó $ABCD$ là hình vuông cần dựng. Chứng minh Dễ thấy $ABCD$ là hình vuông có $B,D \in d$, $C \in \left {C’} \right.$ Mặt khác $A,C$ đối xứng qua $d$ mà $C \in \left {C’} \right$ $ \Rightarrow A \in {Đ_d}\left[ {\left {C’} \right} \right] = \left C \right$ hay $A$ thuộc $\left C \right.$ Nhận xét Số nghiệm hình bằng số giao điểm của $\left {{C}_{1}} \right$ và $\left C’ \right$.Dạng toán 3. Dùng phép đối xứng trục để giải các bài tập hợp điểm Phương pháp Nếu $M’ = {Đ_d}\left M \right$ với $M$ di động trên hình $\left H \right$ thì $M’$ di động trên hình $\left H’ \right$ là ảnh của hình $\left H \right$ qua phép đối xứng trục $d$.Ví dụ 5. Trên đường tròn $\left O,R \right$ cho hai điểm cố định $A,B$. Đường tròn $\left O’;R’ \right$ tiếp xúc ngoài với $\left O \right$ tại $A$. Một điểm $M$ di động trên $\left O \right$. $MA$ cắt $\left O’ \right$ tại điểm thứ hai $A’$. Qua $A’$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $MB$ tại $B’$. Tìm quỹ tích điểm $B’.$Gọi $C = A’B’ \cap \left {O’} \right.$ Vẽ tiếp tuyến chung của $\left O \right$ và $\left {O’} \right$ tại điểm $A.$ Ta có $\widehat {A’CA} = \widehat {xAM}$ $ = \widehat {ABM} = \widehat {BB’A’}$ do đó $ABB’C$ là hình thang cân. Gọi $d$ là trục đối xứng của hình thang này thì ${Đ_d}\left C \right = B’$ mà $C$ di động trên đường tròn $\left {O’} \right$ nên $B’$ di động trên đường tròn $\left {O”} \right$ là ảnh của $\left {O’} \right$ qua ${Đ_d}.$Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$, $P$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $A’,B’,C’$ là các điểm đối xứng với $P$ lần lượt đối xứng qua $IA,IB,IC$. Chứng minh các đường thẳng $AA’,BB’,CC’$ đồng sử điểm $P$ nằm trong tam giác $IAB$. Gọi ${{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}}$ lần lượt đối xứng với $P$ qua các cạnh $BC,CA,AB$. Ta sẽ chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}$. Hiển nhiên ta có $A{{P}_{2}}=A{{P}_{3}}$ vậy để chứng minh $AA’$ là trung trực của ${{P}_{2}}{{P}_{3}}$ ta cần chứng minh $\widehat{{{P}_{2}}AA’}=\widehat{{{P}_{3}}AA’}$. Ta có $\widehat {{P_3}AA’}$ $ = \widehat {{P_3}AP} + \widehat {PAA’}$ $ = 2\alpha + 2\beta .$ Tương tự $\widehat {{P_2}AA’}$ $ = \widehat {{P_2}AC} + \widehat {CAA’}$ $ = \widehat {CAP} + \widehat {CAA’}$ $ = 2\alpha + 2\beta .$ Vậy $\widehat {{P_2}AA’} = \widehat {{P_3}AA’}$ nên $AA’$ là trung trực của ${P_2}{P_3}.$ Tương tự $BB’,CC’$ lần lượt là trung trực của ${{P}_{1}}{{P}_{3}}$ và ${{P}_{1}}{{P}_{2}}$ nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}$.

tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục